Fungsi Kontinu dan Diskontinu

 A.      Definsi Fungsi Kontinu dan Diskontinu

              Berikut ini akan ditunjukan definisi fungsi kontinu dan diskontinu; grafik fungsi kontinu dan diskontinu, serta contoh dan latihan soal dari fungsi kontinu.

1.        Definsi Fungsi Kontinu dan Diskontinu

 

             

              Berdasarkan definisi pada bagian a, dapat diperoleh bahwa  dikatakan kontinu di , jika dipenuhi tiga syarat berikut ini:

1.       ada

2.      Nilai  ada

3.       

 

              Jika salah satu dari syarat yang termuat pada definisi kekontinuan fungsi tidak terpenuhi, maka  diskontinu di

2.        Contoh Fungsi Kontinu dan Diskontinu

              Contoh fungsi kontinu dan diskontinu pada makalah ini akan ditunjukan dengan gambar, beserta soal-soal fungsi. Berikut ini akan ditunjukan menggunakan gambar 1 fungsi kontinu dan grafik fungsi diskontinu:

Gambar 1. Grafik Fungsi Kontinu dan diskontinu

              Selanjutnya, akan ditunjukan dua contoh soal fungsi yang akan dibuktikan kekontinuannya dengan menggunakan Definisi.

a)        Tentukan nilai A dan B agar fungsi  kontinu di , untuk:

Langkah pertama mencari     (Mencari limit kiri dan limit kanan)

        i.            Mencari limit kiri 

 

      ii.            Mencari limit kanan 

 

Agar limit  haruslah

Langkah kedua mencari

(yang memenuhi adalah)

 

         =

         =

Jadi agar fungsi  kontinu di , haruslah  yaitu   yang berarti

b)        Tunjukan bahwa untuk fungsi berikut ini, kontinu di

Penyelesaian:

        i.                                (ada)

        ii.                   (ada)

      iii.         

              Berdasarkan definisi kekontinuitas fungsi yaitu jika , maka dapat disimpulkan bahwa  kontinu di

3.        Latihan Soal Kekontinuitas Fungsi

              Tunjukan bahwa fungsi berikut ini merupakan kontinu pada setiap titik   Buktikan dengan menggunakan  definisi.

Penyelesaian:

        i.             

      ii.           

 kontinu untuk setiap titik

Alasan: Menurut definisi  kontinu di  jika dan hanya jika memenuhi syarat . Berikut akan ditujukan dengan grafik 1.

 

B.       Kriteria Diskontinu

              Bagian ini akan membahas Kriteria Diskontinu dan contoh aplikasi dari penggunaan Kriteria Diskontinu.

1.        Kriteria Diskontinu

 

2.        Contoh Aplikasi Penggunaan Kriteria Diskontinu

Misalkan  dan f  “fungsi diskontinu” Dirichlet yang didefinisikan oleh

Kita claim bahwa f tidak kontinu pada sebarang titik pada R. (Fungsi ini diperkenalkan pada tahun 1829 oleh Dirichlet). Bukti

Pernyataan	Alasan
Jika c bilangan rasional	Asumsi
Xn suatu barisan bilangan irasional yang konvergen ke c	Teorema Akibat Densitas, Teorema Densitas,
Karena f (Xn) = 0 untuk semua sementara f (c) = 1	Diketahui
f tidak kontinu pada bilangan rasional c	Kriteria Diskontinu

Pernyataan	Alasan
Jika b bilangan irasional	Asumsi
Yn suatu barisan bilangan rasional yang konvergen ke b	Teorema Densitas, Teorema Akibat Densitas
Karena f (Yn) = 1 untuk semua  sementara f (b) = 0	Diketahui
f tidak kontinu pada bilangan irasional b	Kriteria Diskontinu

Contoh Soal

              Misalkan f ditentukan untuk semua x ϵ R, x ≠ 2, dengan. Dapatkah f ditentukan pada x = 2 sehingga f kontinu pada titik tersebut?

           

Penyelesaian:

        i.            Langkah Pertama

           

      ii.                        Langkah Kedua

           

    iii.                        Langkah Ketiga

           

            Jadi, fungsi tersebut dapat kontinu di x = 2

C.      Kombinasi Fungsi Kontinu

              Misalkan  ,  dan  adalah masing-masing fungsi didefiniskan pada  serta . Jika  ,  dan  kontinu di  maka:

a)      kontinu di

b)      kontinu di

c)       kontinu di

d)      dan kontinu di

e)      Jika  kontinu di  dan  untuk setiap  maka  kontinu di  

Pembuktian:

a)      kontinu di

Pernyataan	Alasan
kontinu di	Diketahui
dan	Definisi Fungsi Kontinu
	Teorema 4.2.4
kontinu di	Terbukti

b)      kontinu di

Pernyataan	Alasan
kontinu di	Diketahui
dan	Definisi Fungsi Kontinu
	Teorema 4.2.4
kontinu di	Terbukti

c)      kontinu di

Pernyataan	Alasan
kontinu di	Diketahui
dan	Definisi Fungsi Kontinu
	Teorema 4.2.4
kontinu di	Terbukti

e)      Jika  kontinu di  dan  untuk setiap  maka  kontinu di  

Pernyataan	Alasan
Karena  , maka	Sifat Pembagian
	Diketahui
	Teorema 4.2.4 (b)
kontinu di

Latihan Soal

Berikan contoh suatu fungsi  dan  keduanya diskontinu di titik , sehingga:

(a) Jumlah  kontinu di .

(b) Hasil kali  kontinu di .

Rujukan :

Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). United States: John Wiley & Sons Inc.

PDF : https://drive.google.com/open?id=1gQvhPjBmQd-BIN7wIpgPtRq30TsH3kZz